设一礼堂的顶部是一个半椭球面，其方程为z=41?x216?y236，求下雨时过房顶上点P（1，3，11）处的雨水留下
设一礼堂的顶部是一个半椭球面，其方程为z=41?x216?y236，求下雨时过房顶上点P（1，3，11）处的雨水留下的路线方程（不计摩擦力）．...
设一礼堂的顶部是一个半椭球面，其方程为z=41?x216?y236，求下雨时过房顶上点P（1，3，11）处的雨水留下的路线方程（不计摩擦力）．
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雨水沿着z下降最快的方向流，即沿着z的梯度的方向向下流，故雨水从椭球面上流下的路线在xOy面上的投影上任意一点处的切线与z的梯度平行，从而可以得到雨水路线所满足的微分方程，求解微分方程即可．解：设雨水流下的路线在xOy面上的投影曲线方程为f（x，y）=0．
由题意，其在任意一点（x，y）处的切向量（dx，dy）与gradz平行，
又因为
=?
，
=?
，
所以
＝
＝
，x≠0．
利用分离变量法求解可得，
9lny=4lnx+c，
y=Cx
．
由x=1，y=3可得，C=3，
所以y=3x
．
因此，雨水流下的路线方程为：
由题意，其在任意一点（x，y）处的切向量（dx，dy）与gradz平行，
又因为
| ?z |
| ?x |
| x | ||||||
4
|
| ?z |
| ?y |
| y | ||||||
9
|
所以
| dy |
| dx |
| ||
|
| 4y |
| 9x |
利用分离变量法求解可得，
9lny=4lnx+c，
y=Cx
| 4 |
| 9 |
由x=1，y=3可得，C=3，
所以y=3x
| 4 |
| 9 |
因此，雨水流下的路线方程为：
|
