Question

设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（-x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．

设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（-x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围______．

Answer 1

令g（x）=f（x）-

1

2

x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-

1

2

x²+f（x）-

1

2

x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等价于f（2-a）-

(2?a)2

2

≥f（a）-

a2

2

，即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1，
故答案为：（-∞，1]．