Question

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG= 1 2 AD；（2）DF=EF；（3）S △DGF =S △ADG +S △ECF ．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵DG⊥AC， ∴∠AGD=90°，∠ADG=30°， ∴AG= 1 2 AD； （2）过点D作DH ∥ BC交AC于点H， ∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=∠A=60°， ∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴DH=AD， ∵AD=CE， ∴DH=CE， 在△DHF和△ECF中， ∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DH=CE ， ∴△DHF≌△ECF（AAS）， ∴DF=EF； （3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC， ∴AG=GH， ∴S △ADG =S △HDG ， ∵△DHF≌△ECF， ∴S △DHF =S △ECF ， ∴S △DGF =S △DGH +S △DHF =S △ADG +S △ECF ．