Question

已知圆C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设l与圆C交与不

已知圆C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）若定点P（1，1）分弦AB为 AP PB = 1 2 ，求此时直线l的方程．

Answer 1

（1）圆C：x 2 +（y-1） 2 =5的圆心为C（0，1），半径为 5 ． ∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离 d= |-m| m 2 +1 ≤ |m| |2m| = 1 2 ＜ 5 ∴直线l与圆C相交； （2）由直线方程mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，可知直线l过定点P． 当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP， ∴|CM| 2 +|MP| 2 =|CP| 2 设M（x，y）（x≠1），则x 2 +（y-1） 2 +（x-1） 2 +（y-1） 2 =1， 化简得：x 2 +y 2 -x-2y+1=0（x≠1）； 当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式． 故弦AB中点的轨迹方程是x 2 +y 2 -x-2y+1=0． （3）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），由 AP PB = 1 2 ，得 AP = 1 2 PB ， ∴ 1- x 1 = 1 2 ( x 2 -1) ，化简的x 2 =3-2x 1 …① 又由 mx-y+1-m=0 x 2 + (y-1) 2 =5 ，消去y得：（1+m 2 ）x 2 -2m 2 x+m 2 -5=0…（*） ∴ x 1 + x 2 = 2 m 2 1+ m 2 …② 由①②解得 x 1 = 3+ m 2 1+ m 2 ，代入（*）式解得m=±1， ∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．