Question

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：ab=a+ba+b+c

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：ab=a+ba+b+c．

Answer 1

设∠BAC=α，
由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+6α=180°，
解得：α=20°，
∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．
延长CB到点D，使得BD=BA=c，连接AD，如图所示．
∵BD=BA，∠ABC=40°，
∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，
∴∠D=20°，
∴∠D=∠BAC．
∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

CB

CA

，
∴

b

a+c

=

a

b

．
设

b

a+c

=

a

b

=k，
则有b=k（a+c），a=kb．
∴

a+b

a+b+c

=

kb+k(a+c)

a+b+c

=

k(a+b+c)

a+b+c

=k，
∴

a

b

=

a+b

a+b+c

．