Question

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，画出示意图，如图（2）所示，点A，C分别为两名攀岩者所在位置，点B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，点D为山脚，某人在地面上的点E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED=a，求：（Ⅰ）点B，D间的距离及点C，D间的距离；（Ⅱ）在点A处攀岩者距地面的距离h．

Answer 1

（I）根据题意，得∠CED=γ，∠ABE=β，∠ADE=α
在Rt△CDE中，tanγ=

CD

DE

，得CD=atanγ
在Rt△BED中，tanβ=

BD

DE

，得BD=atanβ
综上所述，得点B，D间的距离为atanγ；点C，D间的距离为atanβ；
（II）过A作AH⊥ED于H，则
Rt△AEH中，AH=h，得sinα=

h

AE

，所以AE=

h

sinα

，
同理，可得BE=

a

cosβ

在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ）
由正弦定理，得

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

，即AE=

BEsin(θ+β)

sin(α+θ)

=

asin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

∴h=AEsinα=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)