Question

如图，已知⊙O的直径AB的长是4cm，点C在⊙O上，过点C的直径与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

如图，已知⊙O的直径AB的长是4cm，点C在⊙O上，过点C的直径与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求弦BC的长．

Answer 1

（1）∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠A
又∵∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°
∴即OC⊥CP
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠A=∠ACO=∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠COB=∠CBO
∴BC=OC
∴BC=

1

2

×4=2（cm）