Question

已知递增的等差数列{an}满足：a2a3=45，a1+a4=14（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设bn=an+1S

已知递增的等差数列{an}满足：a2a3=45，a1+a4=14（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设bn=an+1Sn，求数列{bnbn+1}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由题意得，a₁+a₄=14，则a₂+a₃=14，
∵a₂a₃=45，∴a₂、a₃是方程x²-14x+45=0的两根，
∵等差数列{a_n}是递增数列，∴a₂＜a₃，
解得a₂=5，a₃=9，公差d=4，a₁=1，
∴a_n=4n-3，
S_n=

n(a1+an)

2

=

n(1+4n?3)

2

=2n²-n，
（2）由（1）得，b_n=

an+1

Sn

=

4n?2

2n2?n

=

2

n

，
则bn?bn+1=

4

n(n+1)

=4（

1

n

?

1

n+1

），
∴T_n=b1?b2+b2?b3+…+bn?bn+1
=4[（1?

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）]
=4（1-

1

n+1

）=

4n

n+1

．