Question

如图所示，足够长光滑水平轨道与半径为R的光滑四分之一圆弧轨道相切．现从圆弧轨道的最高点由静止释放一

如图所示，足够长光滑水平轨道与半径为R的光滑四分之一圆弧轨道相切．现从圆弧轨道的最高点由静止释放一质量为m的弹性小球A，当A球刚好运动到圆弧轨道的最低点时，与静止在该点的另一弹性小球B发生没有机械能损失的碰撞．已知B球的质量是A球质量的k倍，且两球均可看成质点．（1）若k已知且等于某一适当的值时，A、B两球在水平轨道上经过多次没有机械能损失的碰撞后，最终恰好以相同的速度沿水平轨道运动．求该速度的大小；（2）若第一次碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k的可能取值：

Answer 1

（1）设最终两球的速度大小为v，根据机械能守恒可得：
mgR＝

1

2

mv2+

1

2

kmv2，
解得：v＝

2gR k+1

．
（2）设A球到达圆弧轨道最低点时速度为v₀，则：

1

2

mv02＝mgR
设此时A球对轨道压力为N，则：N-mg=m

v02

R

设碰撞后A球的速度大小为v₁，对轨道的压力为N₁，B球的速度为v₂，选v₀的方向为正，则：
mv₀=kmv₂±mv₁，

1

2

mv02＝

1

2

mv12+

1

2

kmv22，
N1?mg＝m

v12

R

  N1＝

1

2

N
代入数值解上述方程组可得：k=3或k＝

1

3

．
答：（1）该速度的大小为v＝

2gR k+1

．
（2）k的可能取值为3或

1

3

．