如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作∠BPE=45°． （1）求证
如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作∠BPE=45°．（1）求证：当PC=AB时，PA=EC；（2）当点P是AC上任...
如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作∠BPE=45°． （1）求证：当PC=AB时，PA=EC； （2）当点P是AC上任意点时，设PA=x，BE=y，求y与x的函数关系式； （3）是否存在D，P，E三点在同一直线的情况？如果存在，求此时BP+PE的值；如果不存在，说明理由．
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解答：
（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∠1=45°，
∠6=45°．
∵∠4=∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠2=∠5，
在△ABP与△CPE中，
，
∴△ABP≌△CPE（ASA），
∴PA=EC；
（2）如图1，当点P是AC上任意一点时．
∵AB=BC=4，
∴AC=4
，
∴PC=4
-x，EC=4-y，
∵由（1）知，∠1=∠6，∠2=∠5，
∴△ABP∽△CPE，
∴
=
，即
=
，
则y=
x2-
x+4，即y与x的函数关系式是：y=
x2-
x+4（0＜x＜4
）；
（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况．
如图2，在△ABP与△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，∠3=∠4．
∵∠1=∠7=45°，
∴∠1+∠3+∠5=∠4+∠3+∠7=180°，
∴∠5=∠4，
∴∠5=∠3，
∴AB=AP=4．
由（2）知，BE=y=
x2-
x+4=
×16-
×4+4=8-4
，
EC=4-BE=4
-4，
由BP=DP得到：BP+PE=DE=
=
=4
（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∠1=45°，∠6=45°．
∵∠4=∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠2=∠5，
在△ABP与△CPE中，
|
∴△ABP≌△CPE（ASA），
∴PA=EC；
（2）如图1，当点P是AC上任意一点时．
∵AB=BC=4，
∴AC=4
| 2 |
∴PC=4
| 2 |
∵由（1）知，∠1=∠6，∠2=∠5，
∴△ABP∽△CPE，
∴
| AB |
| CP |
| AP |
| CE |
| 4 | ||
4
|
| x |
| 4?y |
则y=
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况．
如图2，在△ABP与△ADP中，
|
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，∠3=∠4．
∵∠1=∠7=45°，
∴∠1+∠3+∠5=∠4+∠3+∠7=180°，
∴∠5=∠4，
∴∠5=∠3，
∴AB=AP=4．
由（2）知，BE=y=
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
EC=4-BE=4
| 2 |
由BP=DP得到：BP+PE=DE=
| EC2+CD2 |
(4
|
| 4?2 |
