Question

2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“

2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0．不考虑其它星体对飞船的影响，求：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

Answer 1

（1）由万有引力提供向心力有：
G

Mm

r2

＝m

v2

r

可得线速度v＝

GM r

所以

v1

v3

＝

r3 r1

＝

R 4R

＝

1

2

（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T₁，在轨道I有：G

mM

(4R)2

＝m(4R)

4π2

T 2 1

在月球表面有：GM＝g0R2
由以上可得：T1＝16π

R g0

设飞船在轨道II上的运动周期T₂，而轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得：

T 2 2

(2.5R)3

＝

T 2 1

(4R)3

可解得：T2＝7.9π

R g0

所以飞船从A到B的飞行时间为：t＝

T2

2

≈4π

R g0

（3）设飞船在轨道I上的角速度为ω₁、在轨道III上的角速度为ω₃，有：
ω1＝

2π

T1

＝

1

8

g0 R

mg0＝mR

ω

2 3

所以ω3＝

g0 R

设飞飞船再经过t时间相距最近，有：
ω₃t-ω₁t=2nπ
所以t=

16nπ

7

R g0

(n＝1，2，3…)
答：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为

1

2

．
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为4π

R g0

．
（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相
同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经

16nπ

7

R g0

(n＝1，2，3…)，他们又会相距最近．