Question

设抛物线C：y 2 =4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；（2

设抛物线C：y 2 =4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；（2）求证： OA ? OB 是一个定值．

Answer 1

（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x-1）， 设直线L与抛物线的交点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 联立 y=2(x-1) y 2 =4x 消去y整理得x 2 -3x+1=0， ∴x 1 +x 2 =3，x 1 x 2 =1． 法一：|AB|= 1+ k 2 | x 1 - x 2 | = 1+ k 2 ? (x1+x2)2-4x1x2 = 5 ? 3 2 -4?1 =5 ． 法二：|AB|=|AF|+|BF|=x 1 +x 2 +p=3+2=5． （2）证明：设直线L的方程为x=ky+1， 设直线L与抛物线的交点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 由 x=ky+1 y 2 =4x 消去x整理得y 2 -4ky-4=0． ∴y 1 +y 2 =4k，y 1 y 2 =-4， ∵ OA ? OB ═（x 1 ，y 1 ）?（x 2 ，y 2 ） =x 1 x 2 +y 1 y 2 =（ky 1 +1）（ky 2 +1）+y 1 y 2 =k 2 y 1 y 2 +k（y 1 +y 2 ）+1+y 1 y 2 =-4k 2 +4k 2 +1-4=-3． ∴ OA ? OB 是一个定值为-3．