Question

已知关于x的方程（m-2）x 2 +2x+1=0 ①（1）若方程①有实数根，求实数m的取值范围？（2）若A（1，0）、

已知关于x的方程（m-2）x 2 +2x+1=0 ①（1）若方程①有实数根，求实数m的取值范围？（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x 2 +2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？

Answer 1

（1）若方程为一元一次方程，则m-2=0，即m=2， 若方程为一元二次方程，则m-2≠0， ∵关于x的方程（m-2）x 2 +2x+1=0有实数根， 又∵a=m-2，b=2，c=1， ∴b 2 -4ac=2 2 -4（m-2）≥0， 解得：m≤3， ∵m-2≠0， ∴m≠2， ∴m≤3且m≠2， 综上所述，m≤3； （2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x 2 +2x+1， ①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x 2 +2x+1， 即为y=2x+1， y=0，x=- 1 2 ，即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点， ②当m-2≠0，即m≠2，函数为二次函数，依题意有， a．若方程有两个不等的实根， 此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x 2 +2x+1的图象与线段AB只有一个交点， 得出x=1和2时对应y的值异号， 则f（1）?f（2）＜0， ∴（m+1）（4m-3）＜0  即-1＜m＜ 3 4 ， 当f（1）=0时，m=-1， 方程为3x 2 -2x-1=0，其根为x 1 =1，x 2 =- 1 3 ， 当f（2）=0时，m= 3 4 ， 方程为3x 2 -8x+4=0，其根为x 1 = 8+ 110 6 x 2 = 8- 110 6 ， ∴-1≤m＜ 3 4 ， b．若方程有两个相等的实根， 则△=4-4（m-2）=0，m=3，方程为x 2 +2x+1=0，其根为 x 1 =x 2 =-1， 此时二次函数与线段AB无交点， 综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段AB只有一个交点的实数m的取值范围是：-1≤m＜ 3 4 ．