Question

已知数列{an}的首项a1=53，3an+1=an+2．n∈N*（Ⅰ）求证：数列{an-1}为等比数列；（Ⅱ）若a1+a2+…+an＜1

已知数列{an}的首项a1=53，3an+1=an+2．n∈N*（Ⅰ）求证：数列{an-1}为等比数列；（Ⅱ）若a1+a2+…+an＜100，求最大的正整数n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵3a_n+1=a_n+2，
∴3（a_n+1-1）=a_n-1，
∵a₁=

5

3

，
∴a₁-1=

2

3

，
∴数列{a_n-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：a_n-1=

2

3

?3^1-n，
∴a_n=2?3^-n+1，
∴a₁+a₂+…+a_n=n+2（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=n+1-

1

3n

，
由n+1-

1

3n

＜100，可得最大的正整数n=99．