Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求y与x的函数关系式；（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的18；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
A点坐标为（24，0），B为（0，12），
把A、B两点的坐标代入上式，得：

24k+b＝0 b＝12

，
解得

k＝? 1 2 b＝12

，
∴y=?

1

2

x+12；

（2）∵S_△OMP=

1

2

OM?OP，
∴y=

1

2

(12?x)?x
即y=-

1

2

x2+6x；

（3）∵S_△AOB=

1

2

×OA?OB＝144，
∴

1

8

S_△AOB=18，即y=18，
当-

1

2

x2+6x＝18时，
解得：x=6；

（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，
当x=-

6

2×(? 1 2 )

=6时，S_△POM=y有最大值．
此时OP=6，OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形．
∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM．
∴四边形OPDM是正方形
∴D（6，6），
把D（6，6）代入y=?

1

2

x+12
x=6时，y=-

1

2

×6+12=9≠6
∴点D不在直线AB上．