Question

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．（I）求f（x）的解析式；（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值．

Answer 1

（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组

y＝ax2+bx y＝x

有且只有一解；
即ax²+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴△=（b-1）²=0
∴b＝1，a＝

1

2

．
∴函数f（x）的解析式为f(x)＝

1

2

x2+x．（6分）
（其它做法相应给分）
（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．
即

1

2

(x?t)2+(x?t)≤x的解集为[4，m]．
∴方程

1

2

(x?t)2+(x?t)＝x的两根为4和m，
即方程x²-2tx+t²-2t=0的两根为4和m．
∴

4+m＝2t 4m＝t2?2t

(m＞4)，
解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分）