Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|；（1）解不等式f（x）≥5；（2）若对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|＞ax恒成

已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|；（1）解不等式f（x）≥5；（2）若对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|＞ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1、2对应点的距离之和，
而数轴上的-2和3对应点到-1、2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2，或 x≥3}．
（2）由于不等式|x+1|+|x-2|＞ax恒成立，即f（x）＞ax恒成立，即f（x）的图象恒在直线y=ax的上方．
再根据f（x）=

?2x+1，x＜?1 3，?1≤x＜2 2x?1，x≥2

，画出图形，如图：
故直线y=ax的斜率a满足-2≤a＜

3

2

，即a的范围为[-2，

3

2

）．