Question

已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，若x1＜1＜x2，则（x1+x2）2+x12x22的取值范围是（　

已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，若x1＜1＜x2，则（x1+x2）2+x12x22的取值范围是（　　）A．（5，+∞）B．（1，+∞）C．(12，+∞)D．(14，+∞)

Answer 1

∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，且x₁≠x₂．
∴△=b²-4ac＞0．∴b²＞4ac．
∴x1+x2＝?

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
∵x₁＜1＜x₂，∴（x₂-1）（1-x₁）＞0，化为-x₁x₂+x₁+x₂-1＞0．
∴?

c

a

?

b

a

?1＞0，可得

?b

a

+

?c

a

＞1．
则（x₁+x₂）²+x₁²x₂²=

b2

a2

+

c2

a2

≥

1

2

(

?b

a

+

?c

a

)2＞

1

2

．
∴（x₁+x₂）²+x₁²x₂²的取值范围是(

1

2

，+∞)．
故选C．