Question

如图，边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，B1C1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与FC所成角的

如图，边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，B1C1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与FC所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值．

Answer 1

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱A₁D₁，B₁C₁的中点．连接BF，则EF∥AB，所以BF∥AE，所以∠BFC为异面直线AE与FC所成角，
cos∠BFC=

BF2+CF2?BC2

2BF×CF

=

5+5?4

2 5 × 5

＝

3

5

，
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为

3

5

．
（2）因为AB⊥平面B₁BCC₁，所以∠AC₁B为直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角，tan∠AC₁B=

AB

BC1

＝

2

2 2

＝

2

2

；
直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值

2

2

．