Question

如图，⊙O的半径为R，在⊙O内接四边形ABCD中，AC⊥BD，OE⊥AB于点E．（1）求证：OE=12CD；（2）求证：AB2

如图，⊙O的半径为R，在⊙O内接四边形ABCD中，AC⊥BD，OE⊥AB于点E．（1）求证：OE=12CD；（2）求证：AB2+CD2=4R2；（3）若AB、CD是方程x2-6x+4=0的两个根（AB＞CD），求⊙O的半径R的值．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如图，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE=

1

2

∠AOB，∠COF=

1

2

∠COD，
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∠CBD=

1

2

∠COD，
∴∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠BOE+∠COF=90°，
而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠COF=∠OBE，
在△BOE和△OCF中，

∠BEO＝∠OFC ∠OBE＝∠COF OB＝OC

，
∴△BOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF，
而OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴OE=

1

2

CD；
（2）证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB²+CD²=4BE²+4CF²，
∵CF=OE，
∴AB²+CD²=4BE²+4OE²=4（BE²+4OE²），
在Rt△OBE中，∵BE²+OE²=OB²=R²，
∴AB²+CD²=4R²；
（3）解：根据题意得AB+CD=6，AB?CD=4，
∴AB²+CD²=（AB+CD）²-2AB?CD=6²-2?4=28，
∵AB²+CD²=4R²；
∴4R²=28，解得R=

7

，
即⊙O的半径R的值为

7

．