(2000?海淀区)如图,PC为⊙O的切线,C为切点,PAB是过O点的割线,CD⊥AB于点D,若tanB=12,PC=10cm,
(2000?海淀区)如图,PC为⊙O的切线,C为切点,PAB是过O点的割线,CD⊥AB于点D,若tanB=12,PC=10cm,求△BCD的面积....
(2000?海淀区)如图,PC为⊙O的切线,C为切点,PAB是过O点的割线,CD⊥AB于点D,若tanB=12,PC=10cm,求△BCD的面积.
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解答:解法一:连接AC,
∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB于点D,
∴∠ADC=∠BCA=90°,
∠ACD=90°-∠BAC=∠B.
∵tanB=
,
∴tan∠ACD=
,
∴
=
=
=
.
设AD=x(x>0),则CD=2x,DB=4x,AB=5x.
∵PC切⊙O于点C,点B在⊙O上,
∴∠PCA=∠B,
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB.
∴
=
=
.
∵PC=10,
∴PA=5,
∵PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,
∴根据切割线定理:PC2=PA?PB,
∴102=5(5+5x),
解得x=3,
∴AD=3,CD=6,DB=12.
∴S△BCD=
CD?DB=
×6×12=36,
即△BCD的面积为36cm2,
解法二:同解法一,由△PAC∽△PCB得
=
=
,
∵PC=10,
∴PB=20,
由切割线定理,得PC2=PA?PB,
∴PA=
=
=5,
∴AB=PB-PA=15,
∵AD+DB=x+4x=15,
解得x=3;(x同证法一)
∴CD=2x=6,DB=4x=12,
S△BCD=
CD?DB=
×6×12=36.
即△BCD的面积为36cm2.
∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB于点D,
∴∠ADC=∠BCA=90°,
∠ACD=90°-∠BAC=∠B.
∵tanB=
1 |
2 |
∴tan∠ACD=
1 |
2 |
∴
AD |
CD |
CD |
DB |
1 |
2 |
AC |
CB |
设AD=x(x>0),则CD=2x,DB=4x,AB=5x.
∵PC切⊙O于点C,点B在⊙O上,
∴∠PCA=∠B,
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB.
∴
PA |
PC |
AC |
CB |
1 |
2 |
∵PC=10,
∴PA=5,
∵PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,
∴根据切割线定理:PC2=PA?PB,
∴102=5(5+5x),
解得x=3,
∴AD=3,CD=6,DB=12.
∴S△BCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
即△BCD的面积为36cm2,
解法二:同解法一,由△PAC∽△PCB得
PC |
PB |
AC |
CB |
1 |
2 |
∵PC=10,
∴PB=20,
由切割线定理,得PC2=PA?PB,
∴PA=
PC2 |
PB |
102 |
20 |
∴AB=PB-PA=15,
∵AD+DB=x+4x=15,
解得x=3;(x同证法一)
∴CD=2x=6,DB=4x=12,
S△BCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
即△BCD的面积为36cm2.
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