Question

已知函数f(x)＝mx2+m?22x (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，（1）求m取值范围；（2）证明

已知函数f(x)＝mx2+m?22x (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，（1）求m取值范围；（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤2n3+3n2?5n12（n∈N*）．

Answer 1

（1）由题意，令g(x)＝lnx?

mx

2

?

m?2

2x

+m?1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立
  g′(x)＝

1

x

?

m

2

+

m?2

2x2

＝

?(x?1)(mx+m?2)

2x2

…4分
当?1＜

2

m

?1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．
∵g_max=g（1）≤0
∴原式成立．
当

2

m

?1＞1，即0＜m＜1时，∵g(1)＝0，gmax＝g(

2

m

?1)＞g(1)＝0
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx≤

1

2

(x?

1

x

)，∴xlnx≤

x2?1

2

令x=n，∴nlnn≤

n2?1

2

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

1

2

[22+32+..+n2+1?n]
∵12+22+…+n2＝

n(n+1)(2n+1)

6

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

2n3+3n2?5n

12

，原不等式成立…12分