Question

数学增长率问题

Answer 1

增长率问题探索

                                       

增长率问题是近几年中考的热点题型，只有掌握增长率问题的本质内涵，才能在中考时以不变应万变。

增长率实质是；增加量占起始量的百分比，增加量是终极量减去

起始量。

设起始量为q,终极量为p  ,增长率为x 则增长一次为p=q(1+x)                  l连续增长二次为p=q(1+x)2

.若x＞0,表示增长;若x＜0,表示降低.

一、        平均增长率                                                  

例1：  某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵，求这个百分数

分析：设增长率为x则明年栽种量为200（1+x）,后年栽种量为200（1+x)2

则三年总栽种量为200+200（1+x）+200(1+x)2

解：设增长率为x则根据题意得                                      

       200+200（1+x）+200(1+x)2=1400

     设1+x=y则200+200y+200y2=1400

         解之得  y1=2  y2=-3

     即1+x=2或1+x=-3

      X1=1   x2=-4

所以这个百分数为100％

例2：某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，试求四、五两个月的平均增长率.

分析：先算出三月份的销售额为100（1－20%）万元.设四、五两个月的平均增长率为x，则四月份销售额为100（1－20%）（1＋x）万元，五月份的销售额为100（1－20%）（1＋）（1＋）＝100（1－20%）(1+x)2万元，于是可列出方程100（1－20%）(1+x)2＝135.2.

       解：设四、五两个月的平均增长率为，由题意得方程

              100（1－20%）(1+x)2＝135.2

                 (1+x)2=1.69

             即1+x=±1.3

             故x1=0.3，x2=－2.3

             因为x2=－2.3不符实际，舍去，所以x=0.3=30%，

即四、五两个月的平均增长率为.

 

专项练习：

1、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） 

A．3000(1+x)2=5000        B．3000x2=5000

C．3000(1+x%)2=5000       D．3000(1+x)+3000(1+x)2=5000

2、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________.

3、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．55 (1+x)2=35     B．35(1+x)2=55   C．55 (1－x)2=35       D．35(1－x)2=55

4、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，

则平均每次降价（   ）

A．10%   B．19%   C．9.5%      D．20%

 

二、变化的增长率

 

例3 ：K国某种商品今年2月份的进口量比上年末减少了20％，由于该种商品价格上涨，进口该种商品的费用反而比上年末 增加了30％，2月份的涨幅比1月份的涨幅多5％，求1月份该种商品价格相对上年末的增长率。

 

分析： 设上年末该种商品的进口量为a,该种商品价格为b,今年1月份的价格增长率为x,则今年2月份该种商品的进口量为（1-20％）a,1月份的价格为b(1+x) 2月份价格为b(1+x)(1+x+5％),今年2月份的费用为（1-20％）a×b(1+x)(1+x+5％)

解：今年1月份的价格增长率为x  则根据题意得

     （1-20％）a×b(1+x)(1+x+5％)=ab(1+30％)

     化简整理 得8（1+x）2+0.4(1+x)-13=0

     令 1+x=y则 8y2+0.4y-13=0

    解之得  y1=1.25  y2=-1.3

 

   即 1+x=1.25 或  1+x=-2.3

 

∴   x1=0.25=25％    x2=-2.3(舍去)

  所以1月份该种商品价格相对上年末的增长率为25％

点评:本题是一个变化的增长率问题.如果设增长前的值为a, 第一次增长率为x, 第二次增长率比第一次增长率多m, 那么第二次增长率为(x+m),增长后的结果为b,由题意列出方程的方法可以概括为公式a (1+x)(1+x+m)＝b.当m =0时,变化的增长率问题就成为平均增长率问题

 

 

 

 

专项练习：1（陕西省中考题）有一商场在第一季度内将某种家电商品连续降价，其中3月份的降幅比2月份的降幅要多2个百分点（一个百分点=1%），结果3月份的销售台数比1月份增加4倍，销售收入增加296%.问2月份在1月份的基础上降价百分之几?

 

三、相关的增长率

例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求   1. 矩形草坪BC边的长．

2．在第1问的条件下，若去掉墙长为16米的限制条件，扩大矩形草坪ABCD的面积为216平方米，其中BC的增长率是AB增长率的2.5倍，求AB边的增长率。

解：1.  设AB的长为x  米则BC边的长为（32-2x）米   根据题意得

          X(32-2x)=120

解之得:x1=10  x2=6

当x=10时AB为10米，BC为12米

当x=6时AB为6米，BC为20米＞16米，不合题意根据题意得

 

所以矩形草坪BC边的长为12米．

2.设AB边的增长率为y则BC边的增长率为2.5y,

根据题意得   10(1+y)×12(1+2.5y)=216

解之得   y1=0.2=20％  y2=-1.6(舍去)

所以AB边的增长率为20％

专项练习：

1（南京市中考题）某农场种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜的种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60000,求南瓜亩产量的增长率.