Question

在△ABC中，b=asinC，c=acosB，则△ABC一定是什么三角形

Answer 1

解法一：同时运用余弦定理、正弦定理
由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
由已知c=acosB得cosB=c/a
c/a=(a²+c²-b²)/(2ac)
整理，得b²+c²=a²
三角形是直角三角形，A=π/2，B、C均为锐角
b=asinC，由正弦定理得
sinB=sinAsinC=sin(π/2)sinC=sinC
B、C均为锐角，B=C
综上，得：三角形一定是等腰直角三角形。

解法二：运用正弦定理
c=acosB
由正弦定理得sinC=sinAcosB
sin(A+B)=sinAcosB
sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB
cosAsinB=0
B为三角形内角，sinB恒>0，因此只有cosA=0
A为三角形内角，A=π/2
三角形为直角三角形，A为直角，则B、C均为锐角。
b=asinC，由正弦定理得
sinB=sinAsinC=sin(π/2)sinC=sinC
B、C均为锐角，B=C
综上，得：三角形一定是等腰直角三角形。

解法一先运用余弦定理，再运用正弦定理；解法二直接运用正弦定理，并运用了和差角公式，两种解法的结果是一样的，三角形一定是等腰直角三角形。

Answer 2

只有∠A=90°，a是斜边时
有上述关系，所以△ABC一定是直角三角形且∠A为直角。

Answer 3

一定是等腰直角三角形
因为
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
c=acosB
所以
c=a(a^2+c^2-b^2)/2ac
2c^2=a^2+c^2-b^2
所以
a^2=c^2+b^2
所以△ABC
是直角三角形
所以
sinC=c/a
所以
b=asinC=ac/a=c
所以
△ABC
是等腰直角三角形

Answer 4

因为在△ABC中，c=acosB，
所以由余弦定理得，c=a×(a^2+c^2-b^2)/2ac
，化简得，a^2=c^2+b^2
则△ABC是直角三角形，且A=90°，
又b=asinC，由正弦定理得，sinB=sinAsinC，
即sinC=sinB，又C＜90°，B＜90°，则C=B，
所以△ABC是等腰直角三角形，