f(x)连续,F(x)=∫x0tf(2x-t)dt(从0到x积分),求F(x)的导数.
1、由于本题是抽象函数，求导的结果，依然是抽象函数。
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2、求导的方法有两方面：
一是做一个变量代换（substitution）；
二是运用变限积分下的求导方法
（differentiation under the sign of integral）。
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3、具体解答如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答。
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4、图片可以点击放大。
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把积分方程转化为微分方程,对两边同时求导得到
df/dx=cosx+xf-xf-∫f(t)dt
再求导
f''(x)=-sinx-f(x)
f''+f=-sinx
变成了二阶线性常系数微分方程。
求导是数学计算中的一个计算方法，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
数学中的名词，即对函数进行求导，用f'(x)表示。
扩展资料 ：
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
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let
u = 2x-t
du = -dt
t=0, u=2x
t=x, u=x
F(x) =∫(0->x) tf(2x-t) dt
=∫(2x->x) (2x-u)f(u) (-du)
=∫(x->2x) (2x-u)f(u) du
=2x∫(x->2x) f(u) du -∫(x->2x) uf(u) du
F'(x)
=2[ x d/dx∫(x->2x) f(u) du + ∫(x->2x) f(u) du . d/dx (x) ] - d/dx ∫(x->2x) uf(u) du
=2{ x[2f(2x)-f(x)] + ∫(x->2x) f(u) du } - [ 4xf(2x) - xf(x) ]
consider
G(x) =∫(p(x)->q(x) ) g(t) dt
G'(x) = q'(x) g(q(x)) - p'(x). g(p(x))
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