Question

高中数学一道

已知无穷数列{an}，首相a1=3，其前n项和为Sn，且a(n+1)=(a-1)Sn+2(a≠0,a≠1,n∈N*)。若数列{an}的各项和为-8/3a,则a=?
答案是-1/2，求详解

Answer 1

嘿嘿嘿，终于。。。
a（n+1）=（a-1）Sn+2=S（n+1）-Sn
S（n+1）=aSn+2
S（n+1）+2/(a-1)=a[Sn+2/（a-1）]
所以数列{Sn+2/（a-1）}是以S1+2/（a-1）为首项，a为公比的等比数列
Sn+2/(a-1)=[S1+2/(a-1)]*a^(n-1)=[3+2/(a-1)]/a^(n-1)，
Sn=[3+2/(a-1)]/a^(n-1)-2/（a-1）（该式子下面简称等式）
①当a＞1时，等式左边＞3-2＞0，右边＜0，所以等式不成立，舍
②当a∈（0,1）时，n→+∞，a^n→0，所以等式化简为 -2/（a-1）=-8/3a，a=-1/2，与②的假设不符，舍
③当a∈（-1,0） n→+∞时，a^n→0，所以所以等式化简为 -2/（a-1）=-8/3a，a=-1/2，成立
④当a＜-1时，a^n→正无穷（n为奇数）或者负无穷（偶数），总之是趋向于无穷大，而等式右边又是一个具体值，所以等式不成立

综上①②③④，a=-1/2 ...就是讨论麻烦