Question

数学题~~~~~~~~~~~·

.1。f(X)=x²+2x-1 若x∈【a,a+1】，求f(x)的最小值

2。已知二次函数的y=ax²+bx+c的图像过（-1,0），问 是否存在常数a,b,c，使x≤f(x)≤1/2（1+x²）对一切实数x都成立？

Answer 1

1.f(x)的对称轴为x=-1,所以只需要考虑a和a+1哪个离-1近，
当a＜-3/2时，a+1离-1近，此时min[f(x)]=f(a+1)=a²+4a+2；
当a≥-3/2时，同理，min[f(x)]=f(a)=a²+2a-1。

2.令x=1/2(1+x²),得x=1,此时1≤f(1)≤1,f(1)=1；
因此由f(-1)=0有，a-b+c=0 …①
由f(1)=1有，a+b+c=1 …②
f(x)≥x恒成立 <=> ax²+(b-1)x+c≥0恒成立 <=> a＞0且(b-1)²-4ac≤0 …③
f(x)≤1/2(1+x²)恒成立 <=> (a-1/2)x²+bx+c-1/2≤0恒成立 <=> a-1/2＜0且b²-4(a-1/2)(c-1/2)≤0 …④
①-②，有b=1/2,a+c=1/2。
代入③④,整理得0＜a＜1/2,ac≥1/16；
由于a+c=1/2,于是1/2=a+c≥2√ac,ac≤1/16
因此a=c=1/4.
综上a=1/4,b=1/2,c=1/4,y=1/4·x²+1/2·x+1/4符合题意。

Answer 2

no