Question

已知函数f(x)=(x^2-2x+2)/x,x∈(0,1/4] (1)判定函数在区间上的单调性，

已知函数f(x)=(x^2-2x+2)/x,x∈(0,1/4]
(1)判定函数在区间上的单调性，证明
(2)求函数在区间上最小值
看不懂 f(a)-f(b)=(a-b)(a+b-2),如何得来的

Answer 1

f(x)=(x^2-2x+2)/x,x∈(0,1/4]
令0<x1<x2≤1/4
f(x1)=(x1²-2x1+2)/x1=x1+2/x1-2 (去括号,因为x≠0）
f(x2)=(x2²-2x2+2)/x2=x2+2/x2-2
则f(x1)-f(x2)=（x1+2/x1-2）-（x2+2/x2-2 ）
=（x1-x2）+2（x2-x1）/x1x2 (这里是通分处理的）
=（x1-x2）-2（x1-x2）/x1x2 (这里是变符号处理）
=（x1-x2）（x1x2-2）/x1x2 （合并同类项，提取（x1-x2））
整理出来的结果就向x1=a，x2=b一样，

再对整理出来的进行判断，看与0比较大小
前面已经设定0<x1<x2≤1/4，所以x1-x2>0,0<x1x2<2
可判定[（x1-x2）（x1x2-2）/x1x2]<0
也就是f(x1)-f(x2)<0
也就是f(x1)<f(x2)
所以在x∈(0,1/4]函数f（x）是单调减函数

2、在x∈(0,1/4]函数f（x）是单调减函数
所以最小值为f（1/4)=6.25

Answer 2

相减法 设0<a<b<1/4
代入方程f(a)-f(b)=(a-b)(a+b-2)
a-b<0 b-a的最大值也取不到1/4 所以 a+b-2<0
所以:f(a)-f(b)>0
所以。。。单调递减
因为单调递减 所以f(b)最小 等于25/16