Question

已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1(a>1).

已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1(a>1).（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在（负无穷，正无穷）上是增函数
未免看错，写清楚点， f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>1).

Answer 1

（1）判断函数f(x)的奇偶性
f(x)=a^x-1/a^x+1，f(-x)=1/a^x-a^x+1,f(-x)与f(x)不相等且不为相反数，所以是非奇非偶函数

（3）证明f（x）在（负无穷，正无穷）上是增函数
这个函数的导数是Ina(a^x+a^(-x))在定义域上恒大于O（看的出吧），所以在（负无穷，正无穷）上是增函数

（2）求f（x）的值域
有了刚才的结论，那么值域显然是（负无穷，正无穷），也就是R。

我想导数的知识你应该学过吧，或者你也可以用打钩函数来判断，有不懂再问吧。

Answer 2

解 (1)求f(x)的值域.
因为0<a^x<+∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

(2)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)
=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.

(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.

Answer 3

好复杂啊