Question

在平面直角坐标系中,抛物线经过原点O与点M(4,0),顶点P的纵坐标为4，以线段OM上的一个动点B为一个顶点，

构造矩形ABCD，使边BC在线段OM上，点B在点C的右侧，点A,D在抛物线上。
问：设线段EF为x轴上一条动线段（即无论怎样移动，点E,F始终在x轴上），且EF=2,当EP+FP取得最小值时，点E的坐标为【（1,0）或（3,0）】
请数学高手为我详细解答。我只知道答案，但没有过程，谢谢啦！（抛物线解析式为y=-x+4x.)

Answer 1

1、设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c,经过点（0,0）和（4,0），得出c=0，且得出16a+4b=0。
又有y的最大值为4，将抛物线解析式为y=ax^2+bx化成y=a(x+b/2a)^2-b^2/(4a),得-b^2/(4a)=4。
解得a=-1,b=4,所以抛物线解析式为y=-x^2+4x
2、抛物线解析式为y=-x^2+4x，P点坐标为（2,4），抛物线的轴为x=2。无论E、F怎么变动，三角形PEF的面积不变，边EF长度不变，EP+FP最小即使三角形周长最小。PEF为等腰三角形时周长最小，因此E、F的坐标分别为（1,0）或（3,0）。