求定积分∫(-1,1)(arccosx)^2dx

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茹翊神谕者

2020-10-20 · TA获得超过2.5万个赞
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天上院盟主
推荐于2019-03-24 · TA获得超过240个赞
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令t=arccosx
arccosx(-1,1)=t(π,0)

∫(-1,1)(arccosx)^2dx=∫(π,0)t^2d(cost)
分部积分
t^2*(cost)(π,0)- ∫(π,0)costd(t^2)
= -π^2-∫(π,0)cost*(2t)dt
= -π^2-2∫(π,0)cost*tdt
再用一次分部积分
∫(π,0)cost*tdt=∫(π,0)td(sint)=sint*t(π,0)-∫(π,0)(sint)dt=-2
原式= -π^2+4
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