Question

对基本不等式问题的疑惑：例如x和y满足x+y=4并大于0，求1/x+4/y最小值 我明白要把1

对基本不等式问题的疑惑：例如x和y满足x+y=4并大于0，求1/x+4/y最小值 我明白要把1替换为（x+y）/4的思路 也知道如果直接对1/x+4/y套公式的结果是解集不满足x+y=4的条件 但我不明白的是 为什么把1换成（x+y）/4之后的解集就必定符合x+y=4的条件了呢

Answer 1

你还得把4换成x+y，这样1/x+4/y=1/4+y/(4x)+x/y+1①，这样才能用均值不等式：对非负实数a,b，有a+b≥2√（ab），这时y/(4x)和x/y才能约去。即①≥5/4+2√(1/4)=9/4，等号成立当且仅当y/(4x)=x/y，即y=2x，代入x+y=4，x=4/3,y=8/3.

追问

为什么还要把4换成x+y 再代入？ 取两个不等式交集么

你理解错我的意思了 我代换的1不是分子上的1，而是(1/x+4/y)的系数1

追答

这个哪有系数……

追问

1（1/x+4/y）=0 把开头的1换掉

追答

我觉得你要求最小值，关键是利用x和y的关系凑出能使这两个变量消去的情形，和求最小值，就是要凑出积来，像你那种换系数实际上把式子搞复杂了，这里分明换的是1/x和1/y的系数，就是1和4.