Question

已知数列｛an｝满足an+1+an=4n-3 当a1=2时，求Sn

Answer 1

a(n+1)+an=4n-3,an+a(n-1)=4*(n-1)-3,
故a(n+1)-a(n-1）=4,（n≥2)
a1=2,a2=-1
当n为奇数时，
an=2+(n-1）/2*4=2n,a(n-1)=-1+(n-1)/2*4=2n-5,
故Sn=(2+2n)*(n+1)/2/2+(-1+2n-5)*(n-1)/2/2
=n^2-n+2
当n为偶数时,
an=-1+2n,a(n-1)=2+2n,
故Sn=(2+2+2n)*n/2/2+(-1+2n-1)*n/2/2=n^2+n/2

Answer 2

由an+1+an=4n-3（n∈N*），得an+2+an+1=4n+1（n∈N*）．
两式相减，得an+2-an=4．
所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列．
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．
由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1．
所以an=2n，n=2k-1
2n-5，n=2k（k∈Z）．
①当n为奇数时，an=2n，an+1=2n-3．Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an
=1+9+…+（4n-11）+2n=n-12×(1+4n-11)2+2n=2n2-3n+52．
②当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）═1+9+…+（4n-7）=2n2-3n2．
所以Sn=2n2-3n+52，n=2k-1
2n2-3n2，n=2k（k∈Z）．