Question

判断f(x)=x+1，x＞0 x-1，x＜0 的奇偶性？

要有过程

Answer 1

函数f(x)的解析式为：
分段函数f(x)={x+1，（x>0）；
x-1，(x<0).
定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.

设x<0，则-x>0，
∵当x>0时，f(x)=x+1，
∴f(-x)=(-x)+1= -x+1= -(x-1)，

同理，设x>0，则-x<0，
∵当x<0时，f(x)=x-1，
∴f(-x)=(-x)-1= -x-1= -(x+1)，

∴f(-x)的解析式为：
分段函数f(-x)={-(x+1)，(x>0)；
-(x-1)，(x<0).

∴f(-x)= -f(x)，
f(x)为奇函数.

也可作出函数f(x)的图象，由其图象关于原点对称知f(x)为奇函数.

Answer 2

当x>0,f(-x)=1-x=-f(x);当x<0,f(-x)=-x-1=-f(x),因为f(x)定义域关于原点对称,且对于定义域内的任意x均有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数

Answer 3

当x>0时，f(-x)=(-x)-1=-(x+1)=-f(x)
当x<0时，f(-x)=(-x)+1=-(x+1)=-f(x)
所以，奇函数