Question

八年级数学题：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交与点P,连接AP

如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交与点P,连接AP（1）求证：AP平分∠BAC的外角∠CAM

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Answer 1

（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE与△ACE中，
∵

∠DAE＝∠CAEAE＝AE∠AED＝∠AEC    

，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE=DE；

（3）当∠DAE=∠ABC时，AP∥BC．
故添加的条件可以为：∠DAE=∠ABC．

三角形的一个内角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形内角平分线。

由定义可知，三角形的内角平分线是一条线段。

三角形有六个外角，所以三角形有六条外角平分线。

把一个角平均分成两个角的线段或射线叫做这个角的平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。

定理

三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。

三角形内角平分线的判定定理：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边AC的比内分边BC，则线段AD是∠BAC的平分线。

三角形外角平分线的性质定理：三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。三角形外角平分线的判定定理：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边CD的比外分边BC，则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

Answer 2

（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE与△ACE中，
∵

∠DAE＝∠CAE
AE＝AE
∠AED＝∠AEC

，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE=DE；

Answer 3

(1)作PX⊥BM於X,PY⊥AC於Y,PZ⊥BN於Z,则
∵BP平分∠MBN,∴PX=PZ
∵CP平分∠ACN,∴PY=PZ
∴PX=PY,∴AP平分∠CAM
(2)∵CD⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°
∵∠DAE=∠CAE,AE=AE,∴△ADE≌△ACE(ASA)
∴DE=CE

Answer 4

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