Question

求个极限：lim(x->0+) (cotx)^(1/lnx),介绍下思路和过程，谢谢！

Answer 1

化简如下：

lim(x->0+)

(cotx)^(1/lnx)=lim(x->0+)

e^ln(cotx)/lnx

=e^lim(x->0+)lncotx/lnx(洛必达）

=e^lim(x->0+)[(-xtanx)/(sin^2x)]

=e^(-1)=1/e

极限的简介：

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

Answer 2

首先，这个是个oo^oo型的
所以，化简如下：
lim(x->0+) (cotx)^(1/lnx)=lim(x->0+) e^ln(cotx)/lnx
=e^lim(x->0+)lncotx/lnx (罗比达）
=e^lim(x->0+)[(-xtanx)/(sin^2 x)]
=e^(-1)=1/e

Answer 3

lim(x->0+) (cotx)^(1/lnx)
=lim(x->0+) e^[lncotx/lnx]
= e^[lim(x->0+) lncotx/lnx]
= e^[lim(x->0+) (-csc^2 x/cotx)/(1/x)]
= e^[lim(x->0+) -(xsinx/cosxsin^2 x)
= e^(-1)