Question

等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=根号2*AB.BC，CD，BD的数量关系

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=根号2*AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
图3

Answer 1

解答：三边数量关系为BE²+BC²=2BD²；理由如下：

将△ADC顺时针旋转至△ABE的位置，连接CE

则△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE，AC=AE，BE=CD，

∴∠ADC+∠CAB=∠ABE+∠CAB

即∠DAB=∠CAE

又AD：AB=AC：AE=1

∴△DAB∽△CAE

∴CE：DB=AC：AB=√2

∴CE=√2BD

在四边形DABC中，∠ABC+∠ADC=360°－∠DAB－∠BCD=360°－90°=270°

在以点B为顶点的周角中，∠CBE=360°－∠ABC－∠ABE=360°－（∠ABC+∠ADC）=90°

∴△CBE是直角三角形

∴由勾股定理得BE²+BC²=EC²=（√2BD）²=2BD²

即BE²+BC²=2BD²

Answer 2

BC、CD、BD 的数量关系是：BD^2=BC^2+CD^2。
证明：因为 角BCD=90度
所以 三角形BCD是直角三角形，
所以 由勾股定理得：BD^2=BC^2+CD^2。

Answer 3

1.在三角形ABD中,角BAD=90,AB=AD,即为等腰直角三角形,角ABD=45,
又因为M为BD中点,所以AM⊥BD且AM=BM,
在直角三角形BCD中,M为斜边BD的中点,所BM=MC,
所以AM=MC,又因为E为等腰三角形MAC底边的中点,所以ME⊥AC.