在什么条件下的反函数就是它本身
反函数也原函数相对y=x这条直线对称。
所以如果反函数就是原函数本身,那么原函数也必须相对y=x对称。函数的图象关于y=x对称
点(y,x)也在图象上。
x=(ay+b)/(cy+d)
代入,整理得
(ac+cd)y^2+(bc+d^2)y=(a^2+bc)y+(ab+bd)
ac+cd=0
且bc+d^2 =a^2+bc
且ab+bd=0
c≠0,a=-d,
1、c=0,b=0,图象过原点,关于y=x对称;
2、c≠0,a=-d;
3、b≠0,a=-d。
扩展资料:
反函数存在定理
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减,证明类似。
参考资料来源:百度百科—反函数
反函数是本身的函数(老黄学高数第18讲)
所以如果反函数就是原函数本身,那么原函数也必须相对y=x对称。
也就是说如果有一个点(x0,y0)在原函数图像上,那么必须(y0,x0)这个点也在原函数图像上,这样的函数才是反函数就是其本身。
反函数也原函数相对y=x这条直线对称。
所以如果反函数就是原函数本身,那么原函数也必须相对y=x对称。
也就是说如果有一个点(x0,y0)在原函数图像上,那么必须(y0,x0)这个点也在原函数图像上,这样的函数才是反函数就是其本身。
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