Question

当x趋近于0时，x/sinx等于多少？怎么算出来的要详细解释！

Answer 1

lim(x->0) sinx/x=1，这是第一重要极限。证明过程如下：一方面，sinx/x>sinx/tanx=cosx，而lim(x->0) cosx=1；另一方面，sinx/x<x/x=1。由夹逼定理，命题得证。

定义：

如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：

（1）当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn。

（2）{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞。

则，数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。

证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n>N1时 。

有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，又因为 a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。也就是说。

limXn=a。

Answer 2

lim(x->0) sinx/x=1，这是第一重要极限。证明过程如下：
一方面，sinx/x>sinx/tanx=cosx，而lim(x->0) cosx=1；
另一方面，sinx/x<x/x=1。
由夹逼定理，命题得证。

Answer 3

lim(x->0) sinx/x=1，这是第一重要极限。证明过程如下：
一方面，sinx/x>sinx/tanx=cosx，而lim(x->0) cosx=1；
另一方面，sinx/x<x/x=1。
由夹逼定理，命题得证。