Question

函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=2x^2-12x+16,则直线y=2与函数f(x)

函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=2x^2-12x+16,则直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是

Answer 1

f(x+1)为奇函数=>f(-x+1)=-f(x+1)
f(-x+1)+f(x+1)=0
函数f(x)图象关于点(1,0)对称
∴f(x)+f(2-x)=0
x<1时,2-x>1
∴当x>1时，f(x)==-f(2-x)=-[2(2-x)x^2-12(2-x)+16]=-2x^2-4x
直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标即为方程f(x)=2的解
分别解方程2x^2-12x+16=2......(1)
或解方程-2x^2-4x=2........(2)
得：方程(1)的解为：3±√2， 方程(2)的解为：-1
∴直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是5.

Answer 2

根据定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数可得，函数f(x)关于点（1,0）对称
画出x>0时f(x)图象，做出关于（1,0)对称的图象，可得对称部分函数为
x<1时，f(x)=-2（x+1)^2+2=-2x^2-4x
与y=2列两组方程组可得第一组解为x=-1
第二组解为x=3±√2
以上三解的和=5