Question

高一数学题急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急

高一数学题急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急
定义在(-1,1)的奇函数f(x)=(x+m)/(x^2+nx+1),
M=?n=?
已知f(x)为奇函数在(0,正无穷)上为增函数，且f(x)<0，试问F(x)=1/f(x)在(负无穷，0)上是增函数还是减函数，用定义说明
判断奇偶性:
f(x)=x/(｜x+1｜)

f(x)=√（1-x^2）

f(x)=｜x+1｜+｜x-1｜
∵｜x+1｜在（负无穷，-1）上单减，在（-1，正无穷）上单增
∴f(x)=x/(｜x+1｜)在（负无穷，-1）上单增，在（-1，正无穷）上单减

∵1-x^2在（负无穷，0）上单增，在（0，正无穷）上单减
√（1-x^2）中，x∈(-1,1)
∴f(x)=√（1-x^2）在（-1，0）上单增，在（0，1）上单减

∵f(x)=｜x+1｜+｜x-1｜=｛2x x∈(1,正无穷)
0 x∈(-1,1)
-2x x∈（负无穷，-1）
∴f(x)=｜x+1｜+｜x-1｜在(1,正无穷)上单增，在（负无穷，-1）上单减

怎么判断奇偶性

Answer 1

∵奇函数f(0)=0
∴m/1=0
m=0
∴f(x)=x/(x^2+nx+1)
∵f(x)=-f(-x)
x/（x^2+nx+1)=-(-x)/((-x)^2-nx+1)
∴nx=-nx
∴n=0

∵奇函数在定义域上关于原点对称
∴f(x)在(负无穷，0)上是减函数
∴F(x)=1/f(x)在(负无穷，0)上是增函数

∵｜x+1｜在（负无穷，-1）上单减，在（-1，正无穷）上单增
∴f(x)=x/(｜x+1｜)在（负无穷，-1）上单增，在（-1，正无穷）上单减

∵1-x^2在（负无穷，0）上单增，在（0，正无穷）上单减
√（1-x^2）中，x∈(-1,1)
∴f(x)=√（1-x^2）在（-1，0）上单增，在（0，1）上单减

∵f(x)=｜x+1｜+｜x-1｜=｛2x x∈(1,正无穷)
0 x∈(-1,1)
-2x x∈（负无穷，-1）
∴f(x)=｜x+1｜+｜x-1｜在(1,正无穷)上单增，在（负无穷，-1）上单减

Answer 2

1.
奇函数: f(0)=0 ==> m=0.
f(-1/2)=-f(1/2) ==> n=0.
故 f(x)=x/(x^2+1),
2.
依题意，f(x)在(负无穷，0)上是增函数，且x<0,f(x)=-f(-x)>0.
则F(x)=1/f(x)在(负无穷，0)上是减函数。
设x1<x2<0, 有0<f(x1)<f(x2).
从而F(x2)-F(x1)=[f(x1)-f(x2)]/[f(x1)f(x2)]<0,
于是F(x)当x<0是减函数。
3.
f(-x)=-x/(｜-x+1｜)，非奇非偶。
f(-x)=√（1-x^2）=f(x), 偶函数。
f(-x)=｜-x+1｜+｜-x-1｜=|x-1|+|x+1|=f(x), 偶函数。