Question

求解第7题用复变函数留数方法

Answer 1

解：分享一种解法【积分区间[0,∞)略写】。∵sinx/[x(x^2+1)]=sinx/x-xsinx/(x^2+1)，则原式=∫sinxdx/x-∫xsinxdx/(x^2+1)。而∫sinxdx/x=π/2，函数R(z)=zsinz/(z^2+1)，是偶函数、满足积分条件，且在上半平面Imz>0内有1个一阶极点i，∴原式=π/2-(1/2)Im{Res[R(z)e^(ix)，i)]}=π/2-(1/2)(2π)/(2e)=π/2(1-1/e)。供参考。