Question

过点(1,-2,3)且通过直线x=2+t,y=3-2t,z=t的平面方程

过点(1,-2,3)且通过直线x=2+t,y=3-2t,z=t的平面方程

Answer 1

过点(1,-2,3)且通过直线x=2+t,y=3-2t,z=t的平面方程为(x+1)/(-2)=(y-2)/2=(z-3)/3。

与两平面平行，则必然与两个平面的交线平行，先求交线：

令z=t则x=-2t+1

y=3t+2

z=t

所以交线的法向量为(-2,3,1)

因此过P且与交线平行的平面方程为：

(x+1)/(-2)=(y-2)/2=(z-3)/3

平面方程类型

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 。它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。

Answer 2

将直线整理为点向式方程：
(x-2)/1=(y-3)/(-2)=(z-0)/1=t
可得直线的方向向量L：（1，-2，1）
同时任意取直线上一点（2，3，0）【这里取t=0的点】，显然该点位于待求平面上；其与已知点构成的向量也必定位于待求平面：
a=（1，-2，3）-（2，3，0）=（-1，-5，3）
故a和L均与待求平面平行，根据向量叉积的几何意义，其叉积必垂直于待求平面，是平面的法向量n：
n=a×L=（1，4，7）
然后根据已知点坐标和法向量列写平面点法式方程：
(x-1)+4(y+2)+7(z-3)=0
最后整理为标准式即可。