Question

高等数学求微分方程通解 求解题过程

Answer 1

特征根是 ±2i， 可设特解 y = (ax+b)cosx + (cx+d)sinx
则 y' = acosx+csinx -(ax+b)sinx + (cx+d)cosx
= (cx+a+d)cosx - (ax+b-c)sinx
y'' = ccosx-asinx - (cx+a+d)sinx - (ax+b-c)cosx
= -(ax+b-2c)cosx - (cx+2a+d)sinx
代入方程得 [(4ax+4b) - (ax+b-2c)]cosx +
[(4cx+4d) - (cx+2a+d)]sinx = xcosx
3a = 1, 3b+2c =0, 3c = 0, 3d-2a = 0
得 a = 1/3， c = 0， b = 0， d = 2/9
特解 y = (1/3)xcosx + (2/9)sinx
微分方程的通解是 y = C1cos2x + C2sin2x + (1/3)xcosx + (2/9)sinx

Answer 2

该方程对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x，其特解可设为y*=(ax+b)cosx+(cx+d)sinx，代入原方程，得到(3ax+3b+2c)cosx+(3cx-2a+3d)sinx=xcosx，解得a=1/3，b=0，c=0，d=2/9，因此特解为y*=xcosx/3+2sinx/9，通解为y=xcosx/3+2sinx/9+C1cos2x+C2sin2x。