Question

求y=2x与y=3-x^2围成的面积既有x轴上也有x轴下.怎么理解

Answer 1

令y=-x
3
+x
2
+2x=0可得函数y=-x
3
+x
2
+2x的零点：x
1
=-1，x
2
=0，x
3
=2
又函数图象先减后增，再减，属于判断出在（-1，0）内，图形在x轴下方，在（0，2）内，图形在x轴上方，
所以所求面积为：-
∫
0-1
（-x
3
+x
2
+2x）dx+
∫
20
（-x
3
+x
2
+2x）dx=-（-
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+x
2
）
|
0-1
+（-
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+x
2
）
|
20
=
37
12
故答案为
37
12

Answer 2

y=2x (1)
y=3-x^2 (2)

(1)=(2)
2x=3-x^2
x^2+2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=-1 or 3

x=-1 , y=-2
x=3, y=6

A = ∫( -2->6) (x1-x2) dy
=∫( -2->6) [ y/2 - √|3-y| ]dy
= (1/4)[y^2]| ( -2->6) -∫( -2->3) √(3-y) dy-∫(3->6) √(y-3) dy
=8 + (2/3)[ (3-y)^(3/2) ]( -2->3) - (2/3)[ (y-3)^(3/2) ](3->6)
= 8 + (2/3)(-1) - (2/3).3^(3/2)
= (22/3) - 2√3