Question

关于证明函数单调性的题

已知函数f(x)定义域为（0，+∞），且对任意的实数x,y有f(xy）=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且当x＞1时，f(x)大于0。
（1）求证：在（0，+∞）上单调递增
（2）若f(x+1)-f(2x)≥2成立，求x的取值范围。

Answer 1

(1)令x=2,y=1,则f(2)=f(2)+f(1),则f（1）=0
令y=1/x,则f（1）=f(x)+f(1/x)=0,f(1/x)=-f(x)
设x>y>0,那么一定有x/y >1,f(x/y)>0
则f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)>0
所以是曾函数
（2）定义域知， x+1>0,2x>0,所以x>0
f(x+1)-f(2x)≥2 = 2f(2)=f(4)
f([ (x+1)/2x ]≥f(4)
因为是增函数，(x+1)/2x]≥4
解得0<x<=1/7

Answer 2

是否f(x+y）=f(x)+f(y)?
x=y=0,f(0)=0;

Answer 3

对任意x1>x2，因为f(x1)=f[x2*（x1/x2)]=f(x2)+f(x1/x2)则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2) 因为 x1/x2＞1，则f(x1)-f(x2）＞0，函数单增。
2.令x=y=2得到f（4）=2
f(x+1)-f(2x)≥2变形为f(x+1)-f(2x)≥f（4）
f(x+1)≥f(2x)+f（4） 即 f(x+1)≥f(8x)
由单调性 x+1≥8x

Answer 4

(1)f(xy）=f(x)+f(y),令x=1得f(y）=f(1)+f(y)，得到f(1)=0
设x>y>0,显然可以表示为x=ay,a>1,f(x)-f(y)=f(ay)-f(y)=f(a)+f(y)-f(y)
因为a>1,所以f(a)>0,所以f(x)-f(y)>0,在（0，+∞）上单调递增
(2)f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2,f(x+1)-f(2x)≥2可化为f(x+1)-f(2x)≥f(4)
f(x+1)≥f(4)+f(2x),即f(x+1)≥f(4*2x),x>0时单调递增，所以x+1≥8x
0小于等于x小于等于1/7