Question

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足6Sn=an²+3an+2,且a2是a1和a6的等比中项 （

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足6Sn=an²+3an+2,且a2是a1和a6的等比中项
（1）求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
n≥2时，
6an=6Sn-6S(n-1)=an²+3an+2-[a(n-1)²+3a(n-1)+2]
an²-a(n-1)²-3an-3a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-3]=0
数列是正项数列，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-3=0
an-a(n-1)=3，为定值
数列{an}是以3为公差的等差数列，公差d=3
a2是a1、a6的等比中项，则a2²=a1·a6
(a1+d)²=a1·(a1+5d)
3a1d-d²=0
d(3a1-d)=0
d=3代入，得3(3a1-3)=0
a1=1
an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2
数列{an}的通项公式为an=3n-2