Question

一道曾经的数学竞赛题！！！

如图，一个平面内有一条线段AB，l是在同一平面内的平行于AB的直线。在l外找一任意点C，连接CA、CB交l于D、E，连接DB、EA交于点O，连接CO延长交AB于点F。
求证：F为AB中点。

Answer 1

{里面的相似三角形自己证吧}
因为三角形ODE相似于三角形OBA,所以OD/OB=OE/OA
过O做平行线MN分别交CA,CB于M,N
所以三角形ODM相似于三角形BDA,三角形OEN相似于三角形AEB
所以MO/AB=OD/OB,ON/AB=EO/OA,所以MO/AB=ON/AB,所以MO=ON
所以O为MN中点
因为三角形CMN相似于三角形CAB,因为CO为三角形CMN中线
所以CF为三角形CAB中线,所以F为AB中点

Answer 2

此题非常容易：
相信楼主知道相似三角形的吧，假定楼主知道
则在此题中：
假设DE与AF的交点为H，则有以下两个等式
EH:BF=CH:CF=DH:AF
EH:AF=HO:OF=DH:BF
简化为：
EH:BF=DH:AF
EH:AF=DH:BF
将两个等式的左右两边同时相除，则得到
BF:AF=AF:BF
楼主应该得到答案了吧

Answer 3

你好，我是东北大学数学系大二的。
在这里给楼主提供两种简单方法：
一：由塞瓦定理得，（CD/DA）*（AF/FB）*（BE/EC）=1,而CD/DA=CE/EB 所以AF/FB=1所以。。。
二：以下写的三个字母在一起是代表三角形面积
AF/FB=AFO/BFO=AFC/BFC=(AFC-AFO)/(BFC-BFO)=AOC/BOC
同理，BE/EC=BOA/COA,CD/DA=COB/AOB,所以，（CD/DA）*（AF/FB）*（BE/EC）=1，所以。。。
证毕。
其实两种方法一样的，第二种方法就是将塞瓦定理有证明了一遍。
塞瓦定理是：O为三角形ABC内一点，AO交CB，BO交AC,CO交AB于E D F,则（CD/DA）*（AF/FB）*（BE/EC）=1。 证明参考解法二。