Question

高中数学，请写出详细过程，谢谢！

Answer 1

y=（x-8）/9，代入：
（x-8）/9=x³-Px²+3x
x-8=9x³-9Px²+27x
9x³-9Px²+26x+8=0,有两个解。必然有3个实数解，但是两个是重根。
设F(x)=x³-Px²+26x/9+8/9=0
=（x-a）²（x-b）
=（x²-2ax+a²）（x-b）
=x³-（b+2a)x²+（a²+2ab）x-a²b
P=b+2a
a²+2ab=26/9
a²b=-8/9
ab=-8/9a
代入前式：
a²-16/9a=26/9
9a³-16=26a
9a³-26a-16=0
a1=1.949558023，a2=-0.7790584821
b1=-8/9a²=-0.2338703401，b2=1.464560635
P1=b+2a=3.665245706，P2=-0.0935563292
y'=3x²-2Px+3
y'|a1=1/9,y'|b1=4.550298512,不相等；
y'|a2=1.033431941,y'|b2=9.708851395,也不相等。
无解。

上面的理解是交点只有两个，可不可能交点不止两个，但是仅有两点的切线平行（导数相等？）
如此，可以这样解：
设这两点的切线的斜率为k
k=3x²-2Px+3
3x²-2Px+3-k=0
两根，x1，x2
x1+x2=2P/3
x1x2=1-k/3
9x1³-9Px1²+26x1+8=0
9x2³-9Px2²+26x2+8=0
相加：
9（x1³+x2³）-9P（x1²+x2²）+26（x1+x2）+16=0
9（x1³+x2³）-9P（x1²+x2²）+26×2P/3+16=0
x1²+x2²=（x1+x2）²-2x1x2=4P²/9-2+2k/3
x1³+x2³=（x1+x2）（x1²-x1x2+x2³）
=（2P/3）[(x1+x2)²-3x1x2]
=（2P/3）[(2P/3)²-3+k]
9（2P/3）[(2P/3)²-3+k]-9P(4P²/9-2+2k/3)+52P/3+16=0
（2P/3）[4P²-27+9k]-P(4P²-18+6k)+52P/3+16=0
（P/3）[4P²-27+9k]-P(2P²-9+3k)+26P/3+8=0
P[4P²-27+9k]-3P(2P²-9+3k)+26P+24=0
4P³+27P+9kP-6P³+27P-9kP+26P+24=0
-2P³+80P+24=0
P³-40P-12=0
P1=6.469532297
P2=-0.300679597
P3=-6.1688527

追问

都不对啊，答案是3,-3,-4里面的一个或两个，我也算了好久没算出来。

追答

反过来试试，用答案的值代进去，看看哪个是

都不是，就是答案错了