Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高，

试说明DE+DF=CG的理由

Answer 1

过点D做CG的垂线交CG于H

因为∠DHG=∠HGF=∠DFG=90°

所以四边形DHGF是矩形

DF=HG

因为AB=AC

所以∠ECD=∠DBF

因为∠ECD+∠CDE=∠DBF+∠FDB=90°

所以∠EDC=∠FDB=∠HCD

∠CHD=∠CED=90°

CD=CD

所以△CHD全等△DEC

DE=CH

所以DE+DF=CH+HG=CG

Answer 2

解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即
12AB•CG=
12AB•DE+
12AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，
即
12AB•DE=
12AB•CG+
12AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上